潮流的确使人看到了发现——如果不说造成——新结构的方式。这就是要创立“范畴”麦克莱恩[maclane] 、艾伦贝格[eilenberg]等），也就是说要创立一个有若干成分的类，其中包含这些成分所具有的各种函数，所以这个类带有多型性（morphismes)。事实上，按照现在的词义，函数就是一个集合在另外一个集合上或在自身上的“应用”，并导致建立各种形式的同型性或“多型性”。这差不多就等于说，在强调函数时，范畴的重点不再是母结构，而是放在可以发现出结构来的、建立关系的那些程序本身上面。这就又等于把新结构不是看成从先前的各种运算已达成的各种“存在”中引出来的，而是从作为形成过程的这些运算本身里抽绎出来的。

    因此，巴普特（s．papert）在上面所说的范畴里看到的，更多地是为真正理解数学家的运算而努力，而不是为了理解“一元化”数学的运算法的努力，这不是没有道理的。这儿就是反映抽象的一个新的例子，说明这个反映抽象法的本质，不是来自客体，而是来自加在这些客体上的那些动作（即使原先的客体已经是这样抽象得到的一个结果），这些事实，对于结构构成的性质和方法而言，是很宝贵的。

    7．逻辑结构

    初看起来，逻辑学似乎是结构的特别有利的领域，因为逻辑学是研究认识的形式，而不是研究认识的内容的。而且还进一步，当我们在（第六节已经指出的）“自然数”这个：“自然”的意义上提出自然逻辑这个问题（现时逻辑学家的看法不对）时，我们很快就看到，逻辑形式处理过的内容仍然有某些形式，具有可以逻辑化的形式的方向，这些内容的形式包括了一些加工得更差的内容，但这些内容又是有某些形式的；如此依次类推，每一个成分对于比它高级的成分来说是内容，而对于比它低级的成分来说是形式。

    但是，固然这些形式上的嵌套接合关系和形式与内容的相对性，对于结构主义理论说来都是极有启发意义的，逻辑学对于这些关系和相对性的问题却并不感觉兴趣，只是在形式化的界限问题（参看第8节）上，才间接地有关。符号逻辑或数理逻辑（今天唯一算得上的逻辑）是建立在这上升的形式一内容阶梯上任意一点的，不过要有使这任意一点成为一个绝对起点的系统化的意图；这样一个意图是合理的，因为这个意图借助于设定公理的方法是可以实现的。事实上，只须选择一定数目的概念和一定数目的命题作为起点；把这些概念看作是不能下定义的，意思是说，这些概念是用来为其他概念下定义的；并且把这些命题看作是不要加以论证的（因为对于所选择的体系而言，选择这些概念是自由的），而这些命题却是为论证服务的。不过，这些基本的概念和公理应该是充分的，它们相互之间可以并存，并且要减少到最低限度，就是说不是多余的。其次，要只用运算程序的形式给自己定出一些构造规则；于是形式化就成为一个自给自足的体系，并不求助于外在的直觉，而且这个体系的起点在某种意义上是绝对的。不言而喻，还有一个形式化的上界问题，还有要知道那些不能下定义和不要加以论证的范围有多大，这些认识论的问题。但是，从逻辑学家所处的形式观点来看，这儿无疑就是唯一的一个在纯粹是内部调整意义上、也就是在完全自身调节作用的意义上、绝对自主的例子。

    因此，从广义的观点出发，我们可以同意，每一个逻辑体系（逻辑体系是有无数个的）都能组成一个结构，因为每一个逻辑体系都具有整体性、转换性和自身调整性这三个性质。然而，一方面，这是些专门为此（ad hoc）建立起来的“结构”。而不管我们是否说出来，结构主义的真实倾向却是要达到“自然的”结构；“自然的”这个概念有点模棱两可，并且经常是名声不好的，它或者是指在人性中深深扎根的意思（有重又回到先验论上去的危险），或者相反是指有一个某种意义上独立于人性的绝对存在，它只是应该适应人性而已（这第二个意思有重又回到超经验的本质上去的危险）。

    另方面，这里有一个更严重的问题：一个逻辑体系，就它所证明的定理的整体而言，就是一个封闭性的整体。但是，这只是一个相对的整体，因为对那些它不加以证明的定理而言（特别是那些不能决定真假的定理，原因是形式化有限度），这个体系的上方是开放着的；而且这个体系的下方也是开放着的，原因是作为出发点的概念和公理，包含着一个有许多未加说明的成分的世界。

    后面这个问题，是我们称之为逻辑学的结构主义所特别关心的问题。因为逻辑学结构主义所明白说出来的企图，就是要找出，在被所设定的公理法定了的作为出发点的那些运算下面，可能有些什么。而我们已经找到的，乃是一个若干真正结构的整体，不但可以和数学家所使用的大结构——这些大结构使人在直觉上必须接受，与它们的形式化无关——相比拟；而且与数学家所使用的某些大结构是有同一性的，于是它又成了我们今天叫做普通代数学的这个结构理论的一部分。

    特别使人感到惊奇的，是十九世纪符号逻辑学的伟大创始人之一——布尔的逻辑学，构成了一种代数学，叫做布尔代数学。布尔代数学保证了“类”的逻辑和传统形式下的命题逻辑的解释，而且相当于模数为2的算术，就是说它唯一的值是0和1。可是，我们可以从这个代数学中引出一个“网”的结构（参看第6节），只要在所有网结构的共同特性上，增加一个分配性的特性，一个包含着一个极大成分和一个极小成分的特性，还有主要的一个是互补性的特性（这样，每个项都包含了它的逆向或否定项）：于是人们称之为“布尔网”。

    另一方面，排中选言的（或者是p或者是q，不能兼是两者）和等价的（既是p又是q,或者既不是p也不是q)这两种布尔运算，二者都能组成一个群，而且这两个群之中的每一个群，都可以转换成一个交替的环。这样，我们看到，在逻辑学上又找到了数学上通用的两个主要结构。

    但是，此外我们还能抽绎出一个更普遍的群，作为克莱因四元群（groupede quaternalite)的一个特殊情况。假定是这样一个蕴涵命题p => q的运算：如果我们把这个命题改成逆命题（n），就得到p·(-q)可这就否定了蕴涵关系）。如果我们把p ＝> q命题的两个项对调，或者单保持原来的蕴涵关系形式而放在否定了的命题之间（-p =>-q),我们就得到它的互反性命题r，即q=>p。如果在p=>q命题的正常形式（也就是p.q v (-p).q v (-p).(-q)中，我们把符号（v）和（·）进行交换，我们就得到p=>q命题的对射性命题c，即(-p).q。最后，如果我们保留p=>q命题不变，我们就得到了恒等性变换i。于是，我们就以代换的方式得到：nr=c；nc=r；cr=n；还有nrc＝i。

    这样，就有了一个四种变换的群，其二值命题逻辑运算（命题可以是二元的、三元的、等等）提供的例子，和用它的“部分的集合”的那些成分组成四元运算所得到的例子有同样的多；这些四元运算中的某些例子可以是：i＝r和n＝c，或者i=c和n＝r；但是，自然从来不能i=n的。

    总而言之，在逻辑学中存在着一些完全意义的“结构”，这是很明确的，而且对于结构主义理论来说，更加有意义的是，我们可以从自然思维的发展中追溯这些结构在心理上的起源。所以，这里有一个问题，要留在将来再加以讨论。

    8.形式化的权宜性限度

    但是，关于逻辑结构的思考，对一般结构主义来说，还有另外一个好处：就是指明在哪些方面“结构”不能跟它们的形式化混为一谈？并且指明，在什么上面，从一种我们将要努力逐步加以说明的意义上说，结构是从。“自然的”现实中产生的。

    1931年，哥德尔（kurt godel ）有一个发现，影响深远，值得注意。这是因为这个发现推翻了当时占统治地位的、要把全部数学归结为逻辑学、又从逻辑学归结为纯粹的形式化的那种观点；还因为这个发现给形式化规定了一些界限；无疑，这些形式化的界限是可以变动的，或者说是权宜性的，但是在结构建立的某个时候却始终是存在的。的确，他已经证明了一种足够丰富和前后一贯的理论，例如象初等算术，是不能用它本身的手段或某些更“弱”的手段（在这个特殊情况下，是怀特海德（whitehead）和罗素（russell）的《数学原理》中的逻辑）来证明它本身是没有矛盾的：仅仅依靠它自己的工具，这个理论就的确会导致一些不能决定真假的命题，因而也就不能达到完备的境地。相反，人们后来发现，在作为出发点的理论内部原来不能实现的这些论证，要是用了更“强”的手段，却可以实现。金琛（gentzen）用坎托尔的超穷算术在初等算术上做到了这点。但是，坎托尔的超穷算术也无法完成它自己的体系；为了做到这一点，就得求助于更高一级型式的理论。

    这些阐述第一个值得注意之点是，在诸结构是可以互相比较的某个特定的领域内引进了结构相对强弱的概念。这样，引进的等级关系马上就暗示了一个构造论观念，就象生物学里不同特性的等级关系曾经暗示过演化论观念一样：一个弱结构使用较初级的方法去论证，而设计越复杂的工具则和愈来愈强的结构相对应，这样看似乎是合理的。

    然而，这个构造论观念并不是随便想出来的。哥德尔这些发现的第二个基本教训，的确就是非常直接地迫使大家要接受构造论观念，因为要在论证其不矛盾性方面完成一个理论，只分析这个理论的先验的假设是不够的，而必须去建造下一个理论！直到那时候，人们原可以把各种理论看作是组成了一座美丽的金字塔，建立在自给自足的基础之上，最下面的一层是最坚固的，因为它是用最简单的工具组成的。但是，如果简单性成了弱的标志，如果为了加固一层就必须建造下面一层，那金字塔的坚固性实际上是悬挂在它的顶上；而金字塔的这个顶端本身也没有完成，而要不断往上增高：于是金字塔的形象要求颠倒过来了，更确切他说，是被一个越往上升越来越大的螺旋塔的形象所代替了。

    事实上，结构作为转换体系的观念，因此就与连续形成的构造论（constructivisme）一致了。然而，事情发展到这种样子的理由归根结蒂是相当简单的，而且意义是相当普遍的。我们已经从哥德尔的研究结果中引出了若干关于形式化的限度的重要看法，并己能证明除了存在形式化的等级之外，还存在着不同程度地半形式化半直觉性的或相近的知识的不同等级，可以说，它们也在等着实现形式化哩。因而形式化的界限是可变动的、或权宜性的，而不是象标志王国的疆界的一个城墙那样，一旦封闭，就一成不变了。拉德利哀（j．ladriere）曾提出一个巧妙的解释，他认为“我们不能一下子就把思维可能有的各种运算一览无余”。这是第一个正确的估计。但是，一方面，我们思维可能有的运算数目不是一下子就能确定的，而是有可能逐渐增加的；另一方面，我们的浏览能力随着智力的发展而变化很大，所以，我们可以希望浏览能力的扩大。反之，如果我们考虑到第7节开头所提到的形式与内容的相对性，干脆他说就是由于这样的事实：不存在只有形式自身的形式，也不存在只有内容自身的内容，每个（从感知一运动性动作到运算，或从运算到理论等等的）成分都同时起到对于被它所统属的内容而言是形式，而对于比它高一级的形式而言又是内容的作用。初等算术是一个形式，这是毫无疑问的；但是，初等算术在超穷算术中成了一个内容（作为“可数的幂”）。结果是，在每一个层次上，一定内容的可能的形式化，仍然是受到这个内容的性质所限制的。相对于各种具体的动作来说，“自然逻辑”虽然是一个形式，但“自然逻辑”的形式化并不能推得很远；直觉数学的形式化能推得远得多，虽则对这些直觉数学要加以修正，才能对直觉数学作形式化的处理；依次类推。

    然而，如果说在人的行为的各个阶段，直到简单到感觉-运动图式，以及这些图式的特殊情况知觉图式等，都能找到一些形式，那末是否可以从中得出结论说，一切都是“结构”，并且就此结束我们的陈述呢？在一个意义上也许可以说是的，但是只有在这个意义上，就是说一切都是可以有结构的。可是，结构作为种种转换规律组成的自身调整体系，是不能跟随便什么形式混为一谈的：我们说一堆石子也有一个形式（因为依照“格式塔”学派的理论，存在着“好”形式，也有“坏”形式：参看第11节），但是，只有当我们给这堆石子作出一个精致的理论，把它整个“潜在”运动的体系考虑在内，这堆石子才成其为一个“结构”。这个问题，就把我们引到物理学上来了。